Volatilité historique et volatilité implicite

La volatilité est un des paramètres nécessaires pour calculer le prix d’une option de change entre sa date de valeur et son échéance. Les autres paramètres fournis par le marché sont : le cours spot du sous-jacent, les taux d’intérêts des deux monnaies. Le modèle de valorisation utilisé pour les options de change européennes simples (vanilla) est Garman-Kohlhagen. Il prend également en compte la durée restante à courir et le strike. La volatilité historique est celle qui est observée durant une période passée. Dans le contexte des options de change, elle représente la dispersion du cours spot autour de sa moyenne durant une période d’observation. Plus précisemment, c’est l’écart-type des variations du cours spot, terme statistique qui se définit par la somme des carrés des écarts entre le cours spot et la moyenne constatée sur une période. L’écart-type (représenté classiquement en maths financières par la lettre grecque Sigma se formule ainsi :

La volatilité implicite représente les variations attendues du cours spot pour une période future. Elle est représentée par l’écart-type des variations anticipées du cours spot par rapport au cours à terme constaté en début de période. Quand on veut modéliser des séries de données en Finance des marchés, on va faire appel à un modèle de distribution particulier : la loi Normale. Ceci s’explique car la moyenne et l’écart-type sont des indicateurs qui permettent de caractériser des lois de types gaussiennes. Par conséquent, en appliquant un modèle de loi Normale pour la distribution de ces variations anticipées, on obtiendra une courbe en cloche dite “de Gauss” telle que ceci :

Avec la loi Normale, la distribution des variations anticipées du cours spot par rapport au cours à terme, constatées à l’échéance de l’option est donnée par la répartition suivante :

68.46% des variations du spot se seront situées dans une intervale de [-1,+1] écart-type. 95.44% des variations du spot se seront situées dans une intervale de [-2,+2] écarts-type. 4.56% des variations du spot se seront situées hors de l’intervale de [-2,+2] écarts-type.

Exemple

Une option de change porte sur un FX spot EUR/USD. Le cours à terme 1 mois EUR/USD donné par les marchés est de 1.3481. Le cours spot est de 1.3457. La volatilité implicite est cotée sur les marchés à 3.25%. En équivalent mensuel, cela correspond à une volatilité mensuelle de 0.9382% (3.25% / SQRT(12)). La loi Normale nous donne la répartition des distributions suivante à l’échéance de l’option :

-68.46% des variations du cours spot EUR/USD se seront situées dans l’intervalle [+/- 0.9382%] autour de 1.3481, donc entre 1.3355 et 1.3607. -95.44% des variations du cours spot EUR/USD se seront situées dans l’intervalle [+/- 2 x 0.9382%] autour de 1.3481, donc entre 1.3228 et 1.3734. -4.56% des variations du cours spot EUR/USD se seront situées en dehors de l’intervalle [+/- 2 x 0.9382%] autour de 1.3481, donc spot < 1.3228 et spot > 1.3734. Graphiquement cela donnera :

A noter que l’on utilise également les modèles de valorisation en les retournant : typiquement en prenant le prix d’une option côtée sur le marché, on retrouvera la valeur de sigma pour que le modèle donne ce prix. On obtient ainsi la volatilité implicite grâce au modèle en partant du prix.